离散公平分配中的 EFX 通过 PMMS 的探索：存在性与非存在性结果

我们研究不可分割物品的公平分配，为 EFX 问题（广泛视为公平分配中的核心开放问题）和 PMMS 问题（EFX 的严格更强变体）提供新的见解。我们的第一个结果构建了一个包含三个代理、两个单调价值和一个可加价值的实例，其中不存在 PMMS 分配。由于 EFX 分配在这些假设下已知存在，这就在形式上建立了 EFX 与 PMMS 之间的分离。我们证明了三个重要特殊情况的公平分配存在。我们显示，在个人化双价值价值情况下，EFX 分配存在；即对于每个代理 $i$，存在值 $a_i > b_i$，使得代理 $i$ 对每个好 $g$ 的价值 $v_i(\{g\}) \in \{a_i, b_i\}$。我们在 $a_i$ 可被 $b_i$ 整除时，证明了 PMMS 分配的类似存在性结果。我们还证明了对于二值 MMS 可行价值，PMMS 分配存在；即每个捆绑 $S$ 的价值 $v_i(S) \in \{0, 1\}$。值得注意的是，这一结果即使不假设单调性也成立，从而适用于 chores 和混合 manna 的公平分配。最后，我们研究一种称为配对需求价值的价值类，这些价值将广泛研究的单元需求价值推广到每个代理从最多两个物品中获得价值的情形，我们证明在该设置下 PMMS 分配存在。我们的证明是构造性的，我们为所有三个存在性结果提供了多项时间算法。