欧几里得带容量约束车辆路径问题的概率分析

我们对随机设定下的单位需求欧几里得带容量约束车辆路径问题进行了概率分析，其中输入分布由 $n$ 个独立同分布的单位需求顾客组成，建模为二维平面上的均匀随机点。目标是使用一组总长度最小的路径访问每位顾客，且每条路径至多访问 $k$ 位顾客，其中 $k$ 为车辆容量。以下所有结果均处于随机设定下，并以渐近几乎必然的方式成立。该问题已知最好的多项式时间近似是迭代巡回路划分（ITP）算法，由 Haimovich 和 Rinnooy Kan 于1985年提出。他们证明了当 $k$ 为 $o(\sqrt{n})$ 或 $\omega(\sqrt{n})$ 时，ITP算法是近最优的，并询问ITP算法在中间范围内是否同样有效。本工作中，我们证明当 $k=\sqrt{n}$ 时，ITP算法至多是一个 $(1+c_0)$-近似，其中 $c_0$ 为某正常数。另一方面，由于 Bompadre、Dror 和 Orlin 的工作，ITP算法的近似比已知至多为 $0.995+\alpha$，其中 $\alpha$ 为旅行商问题某算法的近似比。本工作中，我们将ITP算法的近似比上界改进为 $0.915+\alpha$。我们的分析基于度量带容量约束车辆路径问题最优代价的一个新下界，该下界可能具有独立意义。