有界树宽、有界翻倍维或公路维图上的带容量车辆路径问题的近似方案

在本文中，我们针对几类图上的带容量车辆路径问题（CVRP）提出了近似方案。CVRP 由 Dantzig 和 Ramser（1959）提出，给定一个图 $G=(V,E)$，其边代价为度量、一个 depot $r\in V$，以及一辆容量有界为 $Q$ 的车辆。目标是为该车辆找到最小代价的巡回集合，这些巡回返回 depot，每个最多访问 $Q$ 个节点，从而覆盖所有节点。这推广了经典 TSP，并已被广泛研究。在更一般的设定中，每个节点 $v$ 有一个需求 $d_v$，且每次巡回的总需求不得超过 $Q$。每个节点的需求必须由一次巡回服务（不可拆分）或可由多次巡回服务（可拆分）。已知一般图的最佳近似算法比率为 $\alpha+2(1-\epsilon)$（不可拆分）和 $\alpha+1-\epsilon$（可拆分），其中 $\epsilon>\frac{1}{3000}$ 为某固定值，$\alpha$ 为 TSP 的最佳近似。即便对于树的情况，最佳近似比率为 Becker（2018）给出的 $4/3$，且是否存在针对这一简单图类的近似方案一直是个开放问题。Das 和 Mathieu（2015）针对欧几里得平面 $\mathbb{R}^2$ 提出了运行时间为 $n^{\log^{O(1/\epsilon)}n}$ 的近似方案。除此外，在任意其他度量类上（无对 $Q$ 的进一步限制）尚无已知近似方案。在本文中，我们通过为有界树宽图、有界公路维图和有界翻倍维图提出拟多项式时间近似方案（QPTAS），在这一经典问题上取得了显著进展。作为比较，我们的结果意味着针对欧几里得平面的近似方案运行时间为 $n^{O(\log^{10}n/\epsilon^{9})}$。