后悔有界车辆路径的近似算法及其在距离约束车辆路径中的应用

我们考虑纳入客户后悔概念的车辆路径问题（VRP），其中后悔是指客户相对于其从仓库的最短路径距离的等待时间度量。形式上，我们考虑我们称之为“后悔有界车辆路径问题”（RVRP）的加性和乘性版本。在这些问题中，给定一个具有 $n$ 个节点的无向完全图 $G=(\{r\}\cup V,E)$，其中包含一个特殊的根（仓库）节点 $r$，构成度量空间的边成本 $\{c_{uv}\}$，以及一个后悔界限 $R$。给定一条以 $r$ 为根的路径 $P$ 和一个节点 $v\in P$，令 $c_P(v)$ 为沿 $P$ 从 $r$ 到 $v$ 的距离。目标是找到最少数量的以 $r$ 为根的路径来覆盖所有节点，使得对于被（假设）路径 $P$ 覆盖的每个节点 $v$：在加性 RVRP 中，其关于 $P$ 的加性后悔 $c_P(v)-c_{rv}$ 最多为 $R$；或在乘性 RVRP 中，其关于 $P$ 的乘性后悔 $c_P(v)/c_{rv}$ 最多为 $R$。我们的主要结果是通过为自然的配置型 LP 设计舍入技术，提出了加性 RVRP 的首个常数因子近似算法。这比先前最佳的 $O(\log n)$ 近似有了实质性改进。加性 RVRP 是一个相当核心的车辆路径问题，其研究不仅揭示了对各种其他与后悔相关问题的见解，也揭示了对经典距离约束 VRP（DVRP）的见解。通过对加性 RVRP 的归约，我们获得了乘性 RVRP 的 $O\bigl(\log(\frac{R}{R-1})\bigr)$ 近似比，以及距离界限为 $D$ 的 DVRP 的 $O\bigl(\min\bigl\{\mathit{OPT},\frac{\log D}{\log\log D}\bigr\}\bigr)$ 近似比；后者改进了先前 DVRP 的最佳近似。