主Galois阶与Gelfand-Zeitlin模

我们证明，斜幺半环中的不变量环包含一个所谓的标准 Galois 阶。任何包含在标准 Galois 阶中的 Galois 环自动成为 Galois 阶，我们称此类环为主 Galois 阶。我们给出了两个应用。首先，我们得到了一个简单的充分判据，用于判定一个 Galois 环是否为 Galois 阶，从而判定其 Gelfand-Zeitlin 子代数是否为极大交换子代数。其次，推广了 Early-Mazorchuk-Vishnyakova 近期的一个结果，我们在任意主 Galois 阶上构造了典范单 Gelfand-Zeitlin 模。作为示例，我们引入了有理 Galois 阶的概念，它依附于任意有限反射群和一组有理差分算子，并证明它们是主 Galois 阶。基于 Futorny-Molev-Ovsienko 的结果，我们证明了有限 W-代数的抛物子代数是有理 Galois 阶。类似地，我们证明了 $A$ 型的 Mazorchuk 正交 Gelfand-Zeitlin 代数及其抛物子代数是有理 Galois 阶。因此，我们为这些代数生成了典范单 Gelfand-Zeitlin 模，并证明了它们的 Gelfand-Zeitlin 子代数是极大交换的。最后，我们证明了作者先前定义的量子 OGZ 代数及其抛物子代数是主 Galois 阶。这特别证明了长期存在的 Mazorchuk-Turowska 猜想：如果 $q$ 不是单位根，则 $U_q(\mathfrak{gl}_n)$ 的 Gelfand-Zeitlin 子代数是极大交换的，且其 Gelfand-Zeitlin 纤维非空并（根据 Futorny-Ovsienko 理论）是有限的。