高阶 Hirota 双线性形式

本文研究类型为 $P(D) \{f\cdot f\}=0$ 的 Hirota 双线性形式。我们证明当 $P(D)=D_x^mD_y^rD_t^n$ 时，方程在仅当两个非零 $m,n,p$ 为奇数且另一个为偶数时才具有三孤子解。我们显式地推导对应此形式的非线性偏微分方程，其中 $m+n+p=4$ 和 $m+n+p=6$。我们指出，对于 $P(D)=D_x(D_x^3+\alpha_1 D_t+\alpha_2 D_y)^{2k+1}$ 的方程，在 $(\alpha_1,\alpha_2)\neq (0,0)$ 且 $k\in \mathbb{N}$ 时具有三孤子解。我们推断这些方程仅在 $k=0$ 时才具有四孤子解。最后，我们考虑 $P(D)=D_x^{m_1}D_y^{m_2}D_t^{m_3}D_z^{m_4}$ 的方程。我们证明这些方程在仅当某个 $m_i=1$ 且其余 $m_i$（$i=1,2,3,4$）全为奇数时才具有三孤子解。我们观察到，单项式 $D_x^mD_y^rD_t^n$ 和 $D_x^{m_1}D_y^{m_2}D_t^{m_3}D_z^{m_4}$ 不会产生真正的四孤子解。此外，我们获得了这三类方程的三孤子解、lump 解和混合解，这些解对应 Hirota $D$ 算子特定的幂次。