降维中的耗散性保护

具有预定 Lyapunov 函数的系统在许多应用数学、物理和工程领域中发挥重要作用：动态优化方法（目标函数及其修改），机器学习（损失函数），热力学和动力学（自由能及其他热力学势），自适应控制（各种目标函数、稳定性质量准则和其他 Lyapunov 函数）。大数据和大模型时代，降维是主要挑战之一。具有 Lyapunov 函数的系统进行降维需要保持耗散性：缩减后的系统也必须具有 Lyapunov 函数，预期它是原 Lyapunov 函数在缩减运动流形上的限制。问题的额外复杂性在于，运动方程往往在事先未完全知晓的情况下，必须在研究过程中确定，而 Lyapunov 函数可基于不完整数据确定。因此，投影问题的出现：对于给定的 Lyapunov 函数，寻找一族投影器，使得任何耗散系统的缩减仍然是耗散系统。在本文中，我们给出了此类投影器的显式构造并证明了其唯一性。我们还超越了流形近似的第一步。这在许多应用中是必需的。为此，我们引入了单调树的概念，并找到了将耗散系统投影到单调树以保持耗散性的方法。