基于预条件化有限元方法的神经网络用于求解不可压缩流体动力学问题及其相关逆问题
数值分析
2025-04-09 v2 机器学习
数值分析
流体动力学
摘要
部分微分方程描述的技术系统的数值模拟与优化在多查询场景下昂贵，尤其当必须对不同参数求解方程时。相较新方法是将神经网络在参数依赖性上的优异逼近性能与经典有限元方法（FEM）在离散化上的结合。然而，与将PDE从参数空间到FEM离散解空间的解映射视为纯数据驱动回归问题不同，所谓物理信息化回归问题在训练中最小化方程残差，因而神经网络“学习”问题背后的物理。在本文中，我们将该方法扩展至 saddle-point 和非线性流体力学问题，即定常Stokes方程和定常Navier-Stokes方程。特别地，我们提出一种修改：在训练时最小化经预条件化处理后的方程残差。按线性情况类比，这也改善了当前非线性情况下的条件数。我们的数值示例表明，该方法显著减少训练 effort并大幅提高精度和通用性。最后，我们展示将得到的参数化模型应用于相关逆问题的可能性。
引用
@article{arxiv.2409.04067,
title = {Preconditioned FEM-based Neural Networks for Solving Incompressible Fluid Flows and Related Inverse Problems},
author = {Franziska Griese and Fabian Hoppe and Alexander Rüttgers and Philipp Knechtges},
journal= {arXiv preprint arXiv:2409.04067},
year = {2025}
}