Powell 关于 $S^3$ 的 Goeritz 群的猜想稳定成立

1980 年，J. Powell 提出，对每个亏格 $g$，五个特定元素足以生成 $S^3$ 的亏格 $g$ Heegaard 分解的 Goeritz 群 $\mathcal {G}_g$。Powell 猜想对 $g \geq 4$ 仍未决。令 $\mathcal{P}_g \subset \mathcal {G}_g$ 表示由 Powell 元素生成的子群。在此我们证明，对每个亏格 $g$，自然映射 $\mathcal {G}_g \to \mathcal {G}_{g+1}/\mathcal {P}_{g+1}$ 是平凡的。