曲面上 A_m 局部系统模空间的势

我们研究了源于带刺拓扑曲面上 $PGL_{m+1}$ 局部系统模空间簇坐标的箭图 $Q_{\mathcal{T},m}$ 上的势的性质。对于每个带势箭图，可以关联一个 $3d$ Calabi-Yau $A_\infty$ 范畴，使得带势箭图的一种自然等价概念（称为“右等价”）转化为关联范畴的 $A_\infty$ 等价。对于任意箭图，可以定义“原始”势的概念。我们的第一个结果描述了箭图 $Q_{\mathcal{T}, m}$ 上原始势的等价类空间。然后，我们为 $m = 2$（对应于 $PGL_3$ 局部系统）的情况提供了所有 \emph{通用} 势等价类空间的完整描述。特别地，我们证明了它是有限维的。这一论断推广了 Gei\ss、Labardini-Fragoso 和 Schr"oer 在 $m=1$ 情况下证明的类似陈述。在许多情况下，由带势箭图构造的 $3d$ Calabi-Yau $A_\infty$ 范畴被期望在几何上实现为某些 Calabi-Yau $3$ 流形的 Fukaya 范畴。Bridgeland 和 Smith 给出了箭图 $Q_{\mathcal{T},m=1}$ 的 Fukaya 范畴的显式构造。我们提出了一个在高秩情形 ($m > 1$) 中扮演类似角色的 Calabi-Yau $3$ 流形的候选对象。我们研究了它们的（上）同调，并描述了 $3$ 维球面集合的构造，这些球面应在相应的 Fukaya 范畴中扮演生成拉格朗日球面集合的角色。