多项式高斯积分算子的正定性与纠缠

正定性保持是开放量子系统动力学中的一个重要问题：正定性违反总是标志着模型有效性的边界。我们研究了自伴多项式高斯积分算子$\widehat{\kappa}_{PG}$的正定性，即多变量核$\kappa_{PG}$是多项式$P$和高斯核$\kappa_G$的乘积。这些算子经常出现在开放量子系统中。我们证明，只有当高斯部分为正时，$\widehat{\kappa}_{PG}$才可能为正，这提供了一个强且相当简单的正定性测试。这对于密度算子$\widehat{\kappa}_{PG}$的双粒子纠缠有一个重要的推论：如果高斯密度算子$\widehat{\kappa}_G$不满足Peres-Horodecki准则，那么相应的多项式高斯密度算子$\widehat{\kappa}_{PG}$对于所有$P$也不满足该准则，因此它们都是纠缠的。我们证明奇数阶多项式的多项式高斯算子不可能是半正定的。我们在高斯核上引入一个新的预序$\preceq$，使得如果$\kappa_{G_0}\preceq \kappa_{G_1}$，那么对于所有多项式$P$，$\widehat{\kappa}_{PG_0}\geq 0$意味着$\widehat{\kappa}_{PG_1}\geq 0$。因此，判定一个多项式高斯算子的正定性决定了具有相同多项式因子的许多其他多项式高斯算子的正定性，这可以通过在更大的算子集上执行任何给定的正定性测试来提高其灵敏度。我们将展示一个例子，说明这确实可以使正定性测试更加灵敏和高效。这个预序对纠缠问题也有意义。