圆盘的正定集合

令 $Q(z,w)=-\prod_{k=1}^n [(z-a_k)(\bar{w}-\bar{a}_k)-R_k^2]$。M. Putinar 和 B. Gustafsson 最近证明，若圆盘 $|z-a_i|<R_i$ 构成不相交集合，则矩阵 $Q(a_i,a_j)$（$1\leq i,j\leq n$）是正定的。我们将此结果推广至具有重叠部分的对称圆盘集合。更确切地说，我们证明了当节点 $a_j$ 位于内接于单位圆的正 $n$ 边形的顶点上且 $\forall i: R_i\equiv R$ 时，矩阵 $Q(a_i,a_j)$ 为正定的充要条件是 $R<\rho_n$，其中 $z=2\rho_n^2-1$ 是 Jacobi 多项式 $\mathcal{P}^{n-2\nu,-1}_\nu(z)$ 的最小非 $-1$ 零点，$\nu=[n/2]$。