Rees 乘积的偏序集同调与 $q$-Eulerian 多项式

偏序集的 Rees 乘积概念由 Bj\"orner 和 Welker 引入，他们在其中研究了偏序集拓扑与交换代数之间的联系。Bj\"orner 和 Welker 猜想并由 Jonsson 证明了截断布尔代数 $B_n \setminus \{0\}$ 与 $n$-链 $C_n$ 的 Rees 乘积的顶同调维数等于对称群 $\mathfrak S_n$ 中错排的数量。在此我们证明了该结果的一个细化（涉及 Eulerian 数），以及该细化与原始猜想的一个 $q$-模拟，后者源于将布尔代数替换为 $q$ 元域上 $n$ 维向量空间的子空间格，并涉及作者在先前论文中研究的 $(\maj,\exc)$-$q$-Eulerian 多项式。我们还证明了该细化与原始猜想的等变版本，以及原始猜想及其 $q$-模拟的 BC 型版本（在 Coxeter 群的意义下）。