多项式动力系统与小型轨道和宏轨道的局部分析

我们证明了数域上多项式动力系统的 Manin-Mumford 猜想的一个类比。在我们的设定中，挠点所扮演的角色由点 $\alpha$ 的小型轨道承担。点的小型轨道由 McMullen 和 Sullivan 在研究有理映射动力学时引入，其中对点 $\alpha$ 和多项式 $f$，它由 \begin{align*} \mathcal{S}_\alpha = \{\beta \in \mathbb{C}; f^{\circ n}(\beta) = f^{\circ n}(\alpha) \text{ for some } n \in \mathbb{Z}_{\geq 0}\} \end{align*} 给出。我们的主要定理是对当所有对象定义在代数数上且 $f$ 的次数 $d$ 至少为 2 时，$\mathcal{S}_\alpha$ 中无穷多对点之间成立的代数关系进行分类。我们的证明依赖于对动力系统局部化的细致研究，并采用了与该领域先前证明完全不同的方法。在 $K$ 的无穷素点处，我们使用 Fatou 和 Levin 已知的刚性定理来证明新的此类定理，这些可能在复动力学中具有独立意义。在有限素点处，我们引入了新的非阿基米德方法来研究丢番图问题，这些方法可能适用于其他算术背景。我们在有限素点处的方法使我们能够对 $\alpha$ 的宏轨道 \begin{align*} \mathcal{G}_\alpha = \{\beta \in \mathbb{C}; f^{\circ n}(\beta) = f^{\circ m}(\alpha) \text{ for some } n ,m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\} \end{align*} 中无穷多对点之间成立的所有代数关系进行分类，前提是 $|f^{\circ n}(\alpha)|_v \rightarrow \infty$ 在良约化且与 $d$ 互素的有限素点 $v$ 处成立。这是多项式动力学中有限秩群上 Mordell-Lang 猜想的一个类比。