经典仿射类型的晶体基与 Young 壁的多面体实现

对于类型 $A^{(1)}_{n-1}$、$B^{(1)}_{n-1}$、$C^{(1)}_{n-1}$、$D^{(1)}_{n-1}$、$A^{(2)}_{2n-2}$、$A^{(2)}_{2n-3}$ 或 $D^{(2)}_{n}$ 的仿射 Lie 代数 $\mathfrak{g}$，设 $B(\lambda)$ 和 $B(\infty)$ 分别为量子群 $U_q(\mathfrak{g})$ 的可积最高权表示 $V(\lambda)$ 与负部 $U_q^-(\mathfrak{g})$ 的晶体基。我们考虑晶体基的多面体实现，即将 $B(\lambda)$ 和 $B(\infty)$ 实现为 $\mathbb{R}^{\infty}$ 中某些多面体和锥体的整数点集。寻找这些多面体和锥体的显式形式是一个自然的问题。本文中，我们引入了截断墙对，其被定义为 2 层 Young 壁的修改，并用 1 层真 Young 壁和截断墙对描述了定义这些多面体和锥体的不等式。作为应用，我们还用 Young 壁和截断墙给出了 $B(\infty)$ 上 $\varepsilon_k^*$-函数的组合描述。