多伯努利数与lonesum矩阵

lonesum矩阵是一种可由其行和与列和唯一重构的矩阵。金子(Kaneko)通过生成函数定义了多伯努利数$B_m^{(n)}$，布鲁贝克(Brewbaker)计算了二元lonesum $m\times n$矩阵的个数，并证明该数与多伯努利数$B_m^{(-n)}$相等。我们计算了$q$元lonesum $m\times n$矩阵的个数，然后利用$q$元lonesum $m\times n$矩阵个数的生成函数，提供了推广的金子公式。此外，我们定义了由强lonesum矩阵和弱lonesum矩阵组成的两种类型的$q$元lonesum矩阵，并对lonesum矩阵的进一步研究提出了建议。