Polishchuk 猜想与 Kazhdan-Laumon 表示

在 1988 年的论文“Gluing of perverse sheaves and discrete series representations”中，D. Kazhdan 与 G. Laumon 构造了一个与有限域上约化群 $G$ 相关的阿贝尔范畴 $\mathcal{A}$，旨在用它来构造有限 Chevalley 群 $G(\mathbb{F}_q)$ 的离散序列表示。他们构造的良定义性依赖于其猜想：该范畴具有有限上同调维数。这在 2001 年被 R. Bezrukavnikov 与 A. Polishchuk 证伪，他们在 $G = SL_3$ 的情形找到了反例。在同一篇论文中，Polishchuk 随后提出了一个替代猜想：尽管该反例表明 Grothendieck 群 $K_0(\mathcal{A})$ 不被有限射影维数对象所张成，他指出 $K_0(\mathcal{A})$ 的分次版本可被视为 Laurent 多项式上的模，并猜想该模的某个局部化由有限射影维数对象生成，且建议该猜想可导向证明 Kazhdan 与 Laumon 的构造是良定义的。他在类型 $A_1, A_2, A_3$ 与 $B_2$ 中证明了该猜想。在本文中，我们完全一般地证明了 Polishchuk 猜想，并进一步证明 Kazhdan 与 Laumon 的构造确实是良定义的，给出了 $G(\mathbb{F}_q)$ 离散序列表示的一个新几何构造。