纤维中的有理点：对 Poonen 定理的补充

设 $f:X\to S$ 为整概形的满的有限呈现态射。当 $S$ 为域上或 $\mathbb{Z}$ 上的有限型概形且维数 $>0$ 时，Poonen 已证明存在点 $x\in X$，其剩余类域 $\kappa(x)$ 是 $\kappa(f(x))$ 的根扩张。本文中，我们从几个方面推广该结果。首先，可选择 $x$ 使得 $f(x)$ 为 $S$ 的余维数 $1$ 点；若 $S$ 在域 $k$ 上光滑，可要求 $\kappa(f(x))$ 在 $k$ 上可分。另一方向上，我们证明对其他概形 $S$ 类（例如维数 $\geq2$ 的诺特整概形）有类似结果。Let $f:X\to S$ be a morphism of integral schemes, which is surjective and of finite presentation. When $S$ is of finite type over a field or over $\mathbb{Z}$, of positive dimension, Poonen has shown that there is a point $x\in X$ whose residue field $\kappa(x)$ is purely inseparable over $\kappa(f(x))$. In this paper, we extend this result in several ways. First we prove that we can take $x$ such that $f(x)$ is a codimension $1$ point of $S$; if $S$ is smooth over a fiel $k$, we can require $\kappa(f(x))$ to be separable over $k$. In another direction, we prove that similar results hold for other schemes $S$, such as noetherian integral schemes of dimension $\geq2$.