单位阿基米德 $\ell$-群中的无点点态上确界

我们将实值函数的点态上确界概念推广到无点 (pointfree) 情形。该概念本身具有直接且直观的表述，无需提及点。但我们的目标是研究 $\mathcal{R}L$ 子集的点态上确界，其中 $\mathcal{R}L$ 是 locale（或无点空间）上连续实值函数族。我们的设定是带有指定弱序单位的阿基米德格序群 ($\ell$-groups) 范畴 $\mathbf{W}$，其态射保持群和格运算并将单位映射为单位。主要结果是 Nakano-Stone 定理的适当类比：一个（完全正则）locale $L$ 具有 $\mathcal{R}L$ 条件点态完备（$\sigma$-完备）的特征，即 $\mathcal{R}L$ 中的每个有界（可数）族在 $\mathcal{R}L$ 中都有点态上确界，当且仅当 $L$ 是布尔型的（$P$-locale）。我们采用了无条件点态完备性（$\sigma$-完备性）的最广泛定义：如果一个可除 $\mathbf{W}$-对象 $G$ 包含每个在其任何扩张中具有上确界的子集的点态上确界，则称其为点态完备（$\sigma$-完备）的。我们证明，点态完备（$\sigma$-完备）的 $\mathbf{W}$-对象正是那些形式为 $\mathcal{R}L$ 的对象，其中 $L$ 为布尔 locale（$P$-locale）。最后，我们证明一个 $\mathbf{W}$-对象 $G$ 是点态 $\sigma$-完备的，当且仅当它是 epicomplete 的。