二次迭代具有唯一不动点的平面映射

设$a>0$，$F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$为可微映射（未必$C^1$），$\text{Spec}(F)$为当$p$在$\mathbb{R}^2$中变化时导数$F'(p)$的（复）特征值集合。(a) 若$\text{Spec}(F)$与区间$[1,1+a[$不相交，则$\text{Fix}(F)$至多含有一个元素，其中$\text{Fix}(F)$表示$F$的不动点集。(b) 若$\text{Spec}(F)$与实轴$\mathbb{R}$不相交，则$\text{Fix}(F^2)$至多含有一个元素。(c) 若$F$为$C^1$映射，且对于所有属于$\mathbb{R}^2$的$p$，导数$F'(p)$既非位似变换也无单重实特征值，则只要$\text{Spec}(F)$与以下两者之一不相交：(c1) 数$0$与区间$]-\infty, -1]$及$[1,\infty[$的并集，或 (c2) 区间$[-1-a, 1+a]$，那么$\text{Fix}(F^2)$至多含有一个元素。文中还讨论了使得$\text{Fix}(F^n)$（其中$n>1$）至多为单元集的条件。