平面化学反应系统中的代数与非代数极限环

Hilbert数$H(n)$定义为具有最多$n \in \mathbb{N}$次多项式右侧的平面自治常微分方程组（ODEs）的最大极限环数。在质量作用动力学下，包含两种化学物质的化学反应系统可描述为此类平面自治ODE，其中$n$等于系统中化学反应的最高阶数。对三种不同类别的化学反应系统研究Hilbert数的类比：（i）阶数最多为$n$的化学反应系统；（ii）最多包含$n$分子的化学反应系统；（iii）弱可逆化学反应网络。在每种情况下，都考虑了极限环的数量问题。为代数极限环和非代数极限环，分别提供了修改Hilbert数的下界。此外，给定一个次数为$n_h \in \mathbb{N}$的一般代数曲线$h(x,y)=0$，且包含一个或多个正象限内的椭圆，构造了一个化学系统，其椭圆(s)作为其稳定代数极限环(s)。描述所构建化学系统动力学的ODEs的最高次数为$n=2n_h+1$。考虑$n_h \geq 4$时，代数曲线$h(x,y)=0$可以包含多个闭合组成部分，其最大椭圆数由Harnack曲线定理给出，为$1+(n_h-1)(n_h-2)/2$，当$n_h=4$时，此数值为4。使用$n_h=4$且包含四个椭圆的代数曲线$h(x,y)=0$构造的化学系统具有四个稳定代数极限环。