披萨与2-结构

设 $\mathcal{H}$ 为 $n$ 维欧几里得空间中的 Coxeter 超平面排列。假设恒等映射的负值属于相伴 Coxeter 群 $W$。进一步假设该排列非 $A_1^n$ 型。令 $K$ 为欧几里得空间中体积有限的 measurable 子集，且在 Coxeter 群 $W$ 下稳定，并令 $a$ 为一点使得 $K$ 包含点 $a$ 在群 $W$ 下轨道的凸包。在先前文章中作者证明了广义披萨定理：即 $\mathcal{H}$ 的腔 $T$ 上 $T\cap(K+a)$ 体积的交错和为零。本文给出该结果的一个剖分证明。事实上，我们将该恒等式提升到一个抽象剖分群，以获得一个类似恒等式，将体积替换为任意在仿射等距下不变的 valuation。这包括所有内蕴体积的情形。除基础几何外，主要成分是作者的一条定理，其中我们将 Coxeter 排列的腔上某些 valuation 值的交错和关联到称为 $2$-结构的更简单子排列上的类似交错和，后者由 Herb 引入以研究实约化群的离散序列特征标。