基于物理信息神经网络的高维非线性晶格系统解与蛇形分叉

本文提出一种基于物理信息神经网络 (PINN) 的框架，用于解决非线性晶格系统中的关键挑战，包括解的近似、分叉图构建和线性稳定性分析。我们首先采用 PINN 来逼近源自晶格模型的非线性系统的解，并利用 Levenberg-Marquardt 算法优化网络权重以获得更高精度。为提高高维情景下的计算效率，我们集成随机抽样策略。随后，我们通过将 PINN 与延续方法耦合来计算蛇形分叉图，引入辅助方程以有效跟踪连续解分支。对于线性稳定性分析，我们将 PINN 适用于计算特征向量，引入输出约束以强制实现正性，符合 Sturm-Liouville 理论。对离散 Allen-Cahn 方程（含三次和五次非线性）在一到五个空间维度上的数值实验表明，所提方法的精度与传统数值方法相当，尤其在计算资源受限的高维 regime 下表现更佳。这些结果凸显了神经网络作为复杂非线性晶格系统可扩展且高效工具的潜力。