两组分玻色-氦霍夫准粒子中的相变（II）：$\mathbb{R}^{2}$或$\mathbb{R}^{3}$中De Giorgi猜想的非局部问题

在本系列论文中，我们研究了涉及两组分玻色-氦霍夫准粒子研究中的耦合系统，建立了De Giorgi猜想类型解的分类结果。本文（系列中的第二篇）聚焦于形式为\begin{equation*} \left\{\begin{aligned} (-\Delta)^{s}u+u(u^{2}+v^{2}-1)+v(\alpha uv-\omega)=0, (-\Delta)^{s}v+v(u^{2}+v^{2}-1)+u(\alpha uv-\omega)=0, \end{aligned} \right\end{equation*} 的非局部问题，该问题建模了Rabi耦合准粒子的平稳态，涉及跨种群和同种群相互作用。我们证明，当$\frac{1}{2}\leq s<1$时，满足$\partial_{x_3}u>0>\partial_{x_3}v$单调条件的$\mathbb{R}^3$中任意正整个解$(u,v)$必须是一维的。此外，当$0<s<\frac{1}{2}$时，同样的结论适用于$\mathbb{R}^2$中单调解。我们的工作将经典De Giorgi类型定理推广到一种新的非局部耦合系统类，据我们所知，首次对Rabi耦合分数玻色-氦霍夫准粒子的单调解进行Liouville类型分类，尤其强调分数Gross-Pitaevskii模型。