正则树上着色 Glauber 动力学混合时间的相变

我们证明了分支因子为 b 的完全树上随机 k-着色 Glauber 动力学的混合时间在 $k=b(1+o_b(1))/\ln{b}$ 处发生相变。我们的主要结果给出了对于具有 n 个顶点的完全树，当颜色数 $k=Cb/\ln{b}$（C 为常数）时，动力学混合时间的近乎尖锐的界。对于 $C\geq1$，我们证明混合时间为 $O(n^{1+o_b(1)}\ln{n})$。另一方面，对于 $C<1$，混合时间经历减速；具体而言，我们证明其上界为 $O(n^{1/C+o_b(1)}\ln{n})$，下界为 $\Omega(n^{1/C-o_b(1)})$。临界点 C=1 很有趣，因为它（至少到一阶）与最近由 Sly 建立的重构阈值一致。重构阈值近来引起了相当大的兴趣，因为它似乎与某些局部算法的效率密切相关，而这项工作源于我们试图在这种特定背景下理解这些联系。