批量设置下利用交替最小化进行相位检索

本文考虑相位检索问题，其目标是从观测值 $y_i=|a_i^* z|$ ($i=1,2,\cdots,m$) 中恢复信号 $z\in C^n$。虽然已提出许多算法，但交替最小化算法是最常用的方法之一，且非常易于实现。现有工作已证明，当观测向量 $\{a_i\}_{i=1}^m$ 采样自复高斯分布 $N(0, I)$ 时，若 $m=O(n)$ 且初始化良好，或若 $m=O(n^2)$ 且随机初始化，该算法可恢复底层信号；并猜想随机初始化在 $m=O(n)$ 时也能成功。本文提出了一种批量设置下的改进交替最小化方法，并证明了当 $m=O(n\log^{3}n)$ 时，所提出的算法在随机初始化下能以高概率恢复底层信号。证明基于如下观察：在交替最小化的每次迭代后，估计信号与底层信号之间的夹角以高概率减小。