一维约束势下输运方程解的相位混合

考虑 $1$ 维下具有外部约束势 $\Phi$ 的线性输运方程：\begin{equation*} \partial_t f + v \partial_x f - \partial_x \Phi \partial_v f = 0. \end{equation*} 对于 $\Phi = \frac{x^2}{2} + \frac{\epsilon x^4}{2}$（其中 $\epsilon >0$ 很小），我们证明了对 $\partial_t \varphi := - \Delta^{-1} \int_{\mathbb{R}} \partial_t f \, \mathrm{d} v$ 的相位混合与定量衰减估计，其具有逆多项式衰减率 $O(\langle t\rangle^{-2})$。在证明中，我们发展了适配于该情形的交换向量场方法。我们将解释为何我们希望这与一维下外部势 $\Phi$ 中 Vlasov–Poisson 系统零解的非线性稳定性相关。