一维 Vlasov-Poisson 方程：水袋法

我们在一维情形下重新审视用于数值求解 Vlasov-Poisson 方程的水袋法。在此方法中，相空间分布函数 $f(x,v)$ 最初由一组称为水袋的斑块采样，其中假设 $f$ 为常数。作为 Liouville 定理的结果，只需追踪这些水袋边界的演化，这可以通过采用定向的、自适应的多边形追踪 $f$ 的等值线来完成。这种方法本质上是守恒熵的，非常精确，并能很好地追踪非线性不稳定性，具体实例对此进行了说明。作为该方法的一个应用，我们生成了一组厚度递减的单水袋模拟，以进行向冷极限的收敛性研究。我们的测量表明，系统弛豫到一个稳态，其中引力势剖面是一个缓慢变化指数 $\beta$ 的幂律，$\beta$ 接近文献中发现的 $3/2$。然而，对引力势性质的详细分析表明，在中心处 $\beta > 1.54$。此外，我们的测量结果与值 $\beta=8/5=1.6$ 一致，该值可以通过假设在交叉时刻获得的每个能级的相空间密度平均值在混合阶段守恒而解析推导得出。这些结果与 Schulz 等人 (2013) 最近使用 $N$-body 技术获得的投影密度剖面对数斜率 $\beta-2 \simeq -0.47$ 不相容。这再次对 $N$-body 技术收敛到连续极限下预期的正确稳态的能力提出了强烈质疑。