某些有限生成群作用及相应测度的持久跟踪性

在本文中，$\varphi:G\times X\to X$ 是有限生成群 $G$ 在无孤立点的紧度量空间 $(X, d)$ 上的连续作用。我们引入 $\varphi:G\times X\to X$ 的持久跟踪性概念，并通过测度论对其进行研究。具体而言，我们引入 Borel 概率测度 $\mu$ 与 $\varphi:G\times X\to X$ 的持久跟踪性相容的概念，记为 $\mu\in\mathcal{M}_{PSh}(X, \varphi)$。我们证明 $\mu\in\mathcal{M}_{PSh}(X, \varphi)$ 当且仅当 $supp(\mu)\subseteq PSh(\varphi)$，其中 $PSh(\varphi)$ 是 $\varphi$ 的所有持久可跟踪点的集合。这意味着若每个非原子 Borel 概率测度 $\mu$ 都与 $\varphi:G\times X\to X$ 的持久跟踪性相容，则 $\varphi$ 确实具有持久跟踪性。我们证明 $\overline{PSh(\varphi)}=PSh(\varphi)$ 当且仅当 $\overline{\mathcal{M}_{PSh}(X, \varphi)}= \mathcal{M}_{PSh}(X, \varphi)$。此外，$\mu(\overline{PSh(\varphi)})=1$ 当且仅当 $\mu\in\overline{\mathcal{M}_{PSh}(X, \varphi)}$。最后，我们证明 $\overline{\mathcal{M}_{PSh}(X, \varphi)}=\mathcal{M}(X)$ 当且仅当 $\overline{PSh(\varphi)}=X$。为研究持久跟踪性，我们引入一致 $\alpha$-持久点、一致 $\beta$-持久点的概念，并回顾跟踪性、$\alpha$-持久、$\beta$-持久的概念，给出关于它们的一些进一步结果。