具有平均追踪性质的系统的不变测度的遍历性质

本文探讨了具有平均追踪性质 (average shadowing property) 的拓扑系统 $f:M\rightarrow M$。我们扩展了 Sigmund 的结果，证明了每一个非空、紧致且连通的子集 $V\subseteq\mathcal {M}_{inv}(f)$ 都与 $V_f(y)$ 重合，其中 $\mathcal {M}_{inv}(f)$ 表示 $M$ 上不变 Borel 概率测度的空间，$V_f(y)$ 表示支撑在 $y$ 轨道上的 Dirac 测度的时间平均的积聚集。我们还证明了集合 $M_{V}=\{y\in M\,\,|\,\,V_{f}(y)=V\}$ 在 $\Delta_{V}=\bigcup_{\nu\in V}supp(\nu)$ 中是稠密的。特别地，如果 $\Delta_{max}=\bigcup_{\nu\in\mathcal {M}_{inv}(f)}supp(\nu)$ 是孤立的或与 $M$ 重合，则 $M_{max}=\{y: V_{f}(y)=\mathcal {M}_{inv}(f)\}$ 在 $\Delta_{max}$ 中是剩余集 (residual)。