持续同调图丛：Vineyard 的多维推广

我引入了持续同调图（PD）丛的概念，它是纤维化滤积函数（由拓扑空间 $B$ 参数化的一组滤积 $\{f_p: \mathcal{K}^p \to \mathbb{R}\}_{p \in B}$）的 PD 空间。其特例包括 vineyard、持续同调变换以及多参数持续同调模的纤维化条形码。我证明，如果 $B$ 是光滑紧致流形，那么对于一般的纤维化滤积函数，$B$ 被分层，使得在每个分层 $Y \subseteq B$ 内，存在单一的 PD “模板”（一个“出生”和“死亡”单纯形的列表），可用于获取任意 $p \in Y$ 处滤积 $f_p$ 的 PD。如果 $B$ 是紧致的，则存在有限个分层，因此 $B$ 上一般纤维化滤积的 PD 丛由 $B$ 中有限个点处的持续同调决定。我还表明，并非每个局部截面都能延拓为全局截面（从 $B$ 到 PD 全空间 $E$ 的连续映射 $s$，使得对所有 $p \in B$ 满足 $s(p) \in \textrm{PD}(f_p)$）。因此，PD 丛不一定是“藤蔓” $\gamma: B \to E$ 的并集；这与 vineyard 不同。当存在如上所述的分层时，我构造了一个胞腔层，它存储了足够的数据来构造截面并确定给定的局部截面是否能延拓为全局截面。