价值 irrationality measure 函数的置换

对于无理数 $\alpha\in\mathbb{R}$，我们考虑其 irrationality measure 函数 $$\psi_\alpha(t) = \min_{1\le q\le t,\, q\in\mathbb{Z}} \| q\alpha \|.$$ 设 $\boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ 为 $n$ 个成对独立的无理数组成的 $n$ 元组。对于每个 $t \in \mathbb{R}_{>1}$， irrationality measure 函数 $\psi_{\alpha_1}, \dots, \psi_{\alpha_n}$ 可以按递增顺序写成 $$\psi_{\alpha_{v_1}}(t) > \psi_{\alpha_{v_2}}(t) > \dots > \psi_{\alpha_{v_{n-1}}}(t) > \psi_{\alpha_{v_n}}(t).$$ 我们考虑与此顺序相关的函数向量 $\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\alpha}}(t): \mathbb{R}_{>1} \rightarrow S_n$，定义为 $$\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\alpha}}(t) = ( v_1, v_2, \dots, v_{n-1}, v_n ).$$ 设 $\boldsymbol{k}(\boldsymbol{\alpha})$ 为 $\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\alpha}}(t)$ 的不同值中出现的次数。已知若 $\boldsymbol{k}(\boldsymbol{\alpha})= k$，则有 $n \leq \frac{k(k+1)}{2}.$ 同时，对于 $k \geq 3$ 且 $n = \frac{k(k+1)}{2}$，存在一个 $n$ 元组 $\boldsymbol{\alpha}$ 使得 $\boldsymbol{k}(\boldsymbol{\alpha}) = k$。在本工作中，我们定义 $k$ 循环置换 $\pi$，并证明在极端情况 $n = \frac{k(k+1)}{2}, \ \boldsymbol{k}(\boldsymbol{\alpha}) = k$ 时，$\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\alpha}}(t)$ 的连续值是 $\pi$ 的一个轨道。