$\mathbb{Z}^d$ 中联合余拼块的周期性

Newman 的一个古老定理断言，$\mathbb{Z}$ 被有限集的任何拼砌都是周期的。几年前，Bhattacharya 证明了 $\mathbb{Z}^2$ 中的周期拼砌猜想。即，他证明了对于 $\mathbb{Z}^2$ 的有限子集 $F$，若存在 $A \subseteq \mathbb{Z}^2$ 使得 $F \oplus A = \mathbb{Z}^2$，则存在周期的 $A' \subseteq \mathbb{Z}^2$ 使得 $F \oplus A' = \mathbb{Z}^2$。Greenfeld 与 Tao 近期在高维对周期拼砌猜想的反驳，促使人们寻找在任意维数 $d$ 成立的 Newman 定理与 Bhattacharya 定理的不同推广。本文中，我们提出并证明了此类推广。我们通过研究 $\mathbb{Z}^d$ 中联合余拼块的结构来实现。我们对 Newman 定理的推广表明：对任意 $d \ge 1$，任意 $d$ 个独立拼块的联合余拼块是周期的。对于满足我们称为性质 $(\star)$ 的某一技术条件的 $\mathbb{Z}^d$ 的 $(d-1)$ 元组有限子集，我们证明任意联合余拼块可分解为不相交的 $(d-1)$ 周期集。由此，我们表明对于满足性质 $(\star)$ 的 $\mathbb{Z}^d$ 的 $(d-1)$ 元组有限子集，联合余拼块的存在蕴含周期联合余拼块的存在。反之，我们证明若 $\mathbb{Z}^d$ 中有限子集 $F$ 容许周期余拼块 $A$，则存在 $(d-1)$ 个附加拼块，其与 $F$ 一起独立并容许 $A$ 为联合余拼块，使得这些拼块的前 $(d-2)$ 个与 $F$ 一起满足性质 $(\star)$。综合起来，我们的结果给出了 $\mathbb{Z}^d$ 子集周期拼砌的一个新的充要条件。我们还讨论了其他可数阿贝尔群中的拼砌与联合拼砌。