Jacobi-Poincaré “强”势中角动量消失的周期性三体轨道

Moore 和 Montgomery 论证了在 Jacobi-Poincaré 或“强”对势 $\sum_{i>j}\frac{-1}{r_{ij}^2}$ 中运动的三体的平面周期轨道可以具有所有可能的拓扑结构。在此，我们系统地搜索此类角动量消失的轨道，并在允许相空间的一小部分中发现了 24 个拓扑上不同的轨道，其中 22 个是新发现的，由于初始条件重叠，这些轨道存在过度拥挤的趋势。这 24 个轨道的拓扑结构属于三个由整数 $n=0,1,2, \ldots$ 定义的代数序列。每个序列都延伸至 $n \to \infty$，但在 16 位小数的数值精度下，对于 $n \geq 10$ 的轨道，其初始条件的分离实际上变得不可能。然而，即使在 16 位小数精度下，很明显在每个序列中，轨道的初始角 $\phi_n$ 及其周期 $T_n$ 在渐近极限（$n \to \infty$）下都趋近于有限值。三个序列中有两个是重叠的，即它们的初始角 $\phi$ 占据圆上的同一段，且它们的渐近值 $\phi_{\infty}$ 彼此（非常）接近。这些轨道的作用量随描述轨道拓扑的索引 $n$ 线性增加，这与牛顿力学情况一致。我们表明，这种行为与作用量作为周期函数的解析性假设是一致的。