周期映射与增广 Hodge 线丛的性质

设 $P$ 为周期映射的像。我们讨论了朝向猜想中的 Hodge 理论完备化 $\overline{P}$ 的进展，它是经典情形下 Satake-Baily-Borel 紧化的类比。集合 $\overline{P}$ 被定义并被赋予紧 Hausdorff 拓扑空间的结构。我们猜想它具有紧复解析簇的结构。当 $\mathrm{dim} P \le 2$ 时，我们验证了这一猜想。一般情况下，$\overline{P}$ 拥有一个有限覆盖 $\overline{S}$（也是一个紧 Hausdorff 空间，由周期映射的 Stein 分解构造而成）。假设 $\overline{S}$ 是一个紧复解析簇，我们证明了增广 Hodge 线丛 $\Lambda$ 的提升可以延拓为一个 ample 线丛，从而赋予 $\overline{P}$ 射影正规簇的结构。我们的论证依赖于与各 Hodge 丛相关的 Chern 形式的精细正性性质；这些性质可能具有独立的意义。