多 shot 阴影估计的性能分析

阴影估计是一种以统计保证预测量子态的多个可观测量的高效方法。在多 shot 情形下，在相同幺正演化后对顺序制备的态进行 $K$ 次投影测量，并对随机采样的幺正重复此过程 $M$ 轮。因此，总共有 $MK$ 次测量。在此我们分析该多 shot 情形下阴影估计的性能，其由估计某个可观测量 $O$ 期望值的方差刻画。我们发现除了 [Huang et.al.~Nat.~Phys.~2020] 中引入的阴影范数 $\|O \|_{\mathrm{shadow}}$ 外，方差还与另一范数相关，我们将其记为交叉阴影范数 $\|O \|_{\mathrm{Xshadow}}$。对于随机 Pauli 和 Clifford 测量，我们分析并给出了 $\|O \|_{\mathrm{Xshadow}}$ 的上界。特别地，我们给出了随机 Pauli 测量下 Pauli 可观测量的精确方差公式。我们的工作为多 shot 阴影估计的应用提供了理论指导。