算符弛豫与经典阴影的最优深度

经典阴影（classical shadows）是一种利用随机测量以样本高效方式学习量子态诸多性质的强大方法。在此我们研究通过“浅阴影”（shallow shadows）学习泡利算符期望值的样本复杂度，浅阴影是最近提出的经典阴影版本，其中随机化步骤由深度为 $t$ 的局域酉线路实现。我们证明阴影范数（控制样本复杂度的量）可用算符在随机化（“twirling”）线路下的海森堡时间演化的性质来表示——即刻画算符非平凡作用站点数的权重分布的演化。对于权重 $k$ 的空间连续泡利算符，这涉及两个过程的竞争：算符扩散（算符的支撑随时间增长，权重增加）与算符弛豫（算符主体发展出恒等算符的平衡密度，权重减小）。由这一简单图像我们推导出（i）阴影范数的一个上界，对于深度 $t\sim \log(k)$，在任何空间维度都保证相比 $t=0$ 协议有样本复杂度的指数级提升；（ii）一维内平均场近似下的定量结果，包括最优深度的普适次主导修正，发现其与无限矩阵乘积态数值模拟高度吻合。我们的工作将量子多体动力学的基本思想与量子信息科学中的应用联系起来，并为学习量子态不同性质的高度优化协议铺平道路。