相干框架下 $\ell_1$-synthesis 的性能分析

具有稀疏框架表示的信号比具有正交基的信号构成了更自然的模型。与此类稀疏模型相关的信号恢复研究一直是压缩感知的主要焦点之一。在此类设置中，一种重要且广泛使用的信号恢复方法被称为 $\ell_1$-synthesis（或 Basis Pursuit）。本文提出了对该方法更有效的性能分析（优于现有分析），其中字典 $\Dbf$ 可能具有高度甚至完全相关性。在感知矩阵 $\Phibf$ 的适当条件下，建立了通过 $\ell_1$-synthesis 方法恢复的信号 $\hat{\fbf}$ 的误差界。该误差界由 $\tilde{\Dbf}_{\text{o}}^*\fbf$ 的衰减性质决定，其中 $\fbf$ 是真实信号，$\tilde{\Dbf}_{\text{o}}$ 表示 $\Dbf$ 的最优对偶框架，其意义在于 $\|\tilde{\Dbf}_{\text{o}}^*\hat{\fbf}\|_1$ 在所有 $\Dbf$ 的对偶框架 $\tilde{\Dbf}$ 和所有可行信号 $\tilde{\fbf}$ 中产生最小的 $\|\tilde{\Dbf}^*\tilde{\fbf}\|_1$ 值。这一新的性能分析偏离了对组合 $\Phibf\Dbf$ 的常规描述，转而将描述置于 $\Phibf$ 上。示例表明，当常规分析无法解释 synthesis 方法的工作性能时，新建立的结果可以做到。