多项式幂和中的完全幂

我们证明，在满足某些进一步条件的非退化简单线性递推多项式序列 $(G_n(x))_{n=0}^{\infty}$ 中，若序列阶数至少为二，则不可能包含任意大的多项式幂。换言之，我们将证明对于足够大的 $m$，不存在次数 $\geq 2$ 的多项式 $h(x)$ 使得 $(h(x))^m$ 是 $(G_n(x))_{n=0}^{\infty}$ 中的元素。此处 $m$ 的界仅依赖于序列 $(G_n(x))_{n=0}^{\infty}$。在二元情形我们证明得更多：此时序列 $(G_n(x))_{n=0}^{\infty}$ 的指标 $n$ 存在一个界 $C$，使得仅有指标 $n \leq C$ 的元素才可能是真幂。