二维经典 Heisenberg 模型的渗流与向量值 GFF 的退出集

本文的动机有两方面。首先，我们研究一类称为退出集的探测集的几何，它们自然联系于二维向量值 GFF：$\phi : Z^2 \to R^N, N\geq 1$。我们证明，有些令人惊讶地，只要 $N\geq 2$ 这些集几乎必然退化，而在 $N=1$ 时它们被猜想为宏观且分形的。该分析使我们在 $N\geq 2$ 时理解 $\{\|\phi(x)\|, x\in Z^2\}$ 水平集的渗流性质，并导向本工作的第二主要动机：若将自旋 $O(N+1)$ 模型（经典 Heisenberg 模型为 $N=2$）投影到自旋 $O(N)$ 模型，我们得到处于由 $Z^2$ 上随机电导给出的淬灭无序中的自旋 $O(N)$ 模型。利用 $N$-向量值 GFF 的退出集，我们在极限 $\beta\to \infty$ 下获得该随机无序的局部与几何描述。这使我们重访 Patrascioiu 与 Seiler 的一系列著名工作（[PS92, PS93, PS02]），他们反对 Polyakov 关于当 $N\geq 2$ 时自旋 $O(N+1)$ 模型在所有温度均有质量的预言（[Pol75]）。我们使其部分论证严格化，更重要的是给出如下反例：我们构造具有高电导（任意）且具低电导（任意）小且不连通区域的遍历环境，其中尽管高电导占优，$XY$ 模型仍保持有质量。作为独立兴趣，我们证明在高 $\beta$ 下，经典 Heisenberg 模型的横向涨落由 $N=2$ 向量 GFF 给出。这在 [Pol75] 中隐含，但我们在此给出首个（非平凡）严格证明。此外，独立于近期工作 [DF22]，我们证明对任意 $N\geq 1$，自旋 $O(N)$ 模型的两点关联函数由缆线图中某些渗流事件给出。