用于状态估计的 PBDW 方法:含噪数据的误差分析及非线性表述

我们对 [Y Maday, AT Patera, JD Penn, M Yano, Int J Numer Meth Eng, 102(5), 933-965] 中提出的变分数据同化(状态估计)的参数化背景数据弱(PBDW)表述给出了误差分析和进一步的数值研究。PBDW 算法是一种涉及降阶模型的状态估计方法。它旨在从以 $y_m = \ell_m(u^{\rm true}),\, m=1,\dots,M$ 形式给出的 $M$ 个测量观测中逼近存在于高维 Hilbert 空间中的未知函数 $u^{\rm true}$,其中 $\ell_m$ 为线性泛函。该方法用 $\hat{u} = \hat{z} + \hat{\eta}$ 逼近 $u^{\rm true}$。\emph{背景} $\hat{z}$ 属于由参数化数学模型的降阶建模构建的 $N$ 维线性空间 $\mathcal{Z}_N$,而\emph{更新} $\hat{\eta}$ 属于由 $(\ell_1,\dots, \ell_M)$ 的 Riesz 表示元张成的空间 $\mathcal{U}_M$。当测量含噪{---即 $y_m = \ell_m(u^{\rm true})+\epsilon_m$,其中 $\epsilon_m$ 为噪声项---}时,经典 PBDW 表述并不鲁棒,因为若 $N$ 增大,重建精度会退化。本文我们提议通过经典表述的一个扩展来解决此问题,{即}在无噪情形下于整个 $\mathcal{Z}_N$ 上搜索背景 $\hat{z}$,而在有噪情形下于精心选取的子集 $\mathcal{K}_N \subset \mathcal{Z}_N$ 上搜索。对 $\mathcal{K}_N$ 的限制使重建变为非线性,且是使算法对噪声显著更鲁棒的关键。我们{进一步}给出了\emph{先验}误差与稳定性分析,并通过若干数值算例说明了该方法的有效性。