基于字典的模型降阶用于状态估计

我们考虑从少量线性测量中进行状态估计的问题，其中待恢复的状态是参数依赖方程解流形 $\mathcal{M}$ 中的一个元素。该状态利用来自模型降阶的关于 $\mathcal{M}$ 的先验知识进行估计。基于 $\mathcal{M}$ 线性逼近的变分方法（如 PBDW）产生的恢复误差受限于 $\mathcal{M}$ 的 Kolmogorov 宽度。为克服此问题，也有研究考虑 $\mathcal{M}$ 的分段仿射逼近，即使用一组线性空间库，通过最小化到 $\mathcal{M}$ 的某种距离来选取其中一个。本文中，我们提出一种依赖基于字典的模型降阶的状态估计方法，其中从由快照字典生成的库中依据到流形的距离选取一个空间。选取在一组候选空间中进行，这些候选空间由一组 $\ell_1$ 正则化最小二乘问题得到。进而，在具有仿射参数化的参数依赖算子方程（或 PDE）框架下，我们基于随机线性代数给出一种高效的离线-在线分解，在保持理论保证的同时确保高效且稳定的计算。