自适应 PBDW 状态估计方法：含噪观测与用户自定义更新空间

我们对参数化背景数据弱（PBDW）格式给出若干推广与进一步解释；该格式是 [Y Maday, AT Patera, JD Penn, M Yano, Int J Numer Meth Eng, 102(5), 933-965] 中提出的、针对由参数化偏微分方程（PDEs）建模的物理系统的实时原位数据同化（DA）框架。给定状态的 $M$ 个含噪测量值，PBDW 寻求形如 $u^{\star} = z^{\star} + \eta^{\star}$ 的逼近，其中背景 $z^{\star}$ 属于由参数化数学模型提供的 $N$ 维背景空间，更新 $\eta^{\star}$ 属于由实验观测提供的 $M$ 维更新空间。本工作的贡献有三方面：首先，我们将 [T Taddei, M2AN, 51(5), 1827-1858] 中提出的自适应格式推广到一般线性观测泛函，以有效处理含噪观测；其次，我们考虑更新空间的用户自定义选择，以改进相对于测量数量的收敛性；第三，我们对含噪情形下的一般线性泛函提出先验误差分析，以识别状态估计误差的不同来源并最终论证自适应过程的动机。我们给出了声学中两个合成模型问题的结果，以说明方法要素并证明其有效性。我们进一步给出了流体力学中一个合成问题的结果，以展示该方法对向量值场的适用性。