曲面的 Morse 映射空间的道路分支

设 $M$ 为紧曲面，$P$ 为无边界的一维流形，即直线 $\mathbb{R}^1$ 或圆周 $S^1$。从 $M$ 到 $P$ 的 Morse 映射空间之道路分支的分类，近来由 S. V. Matveev 与 V. V. Sharko 对 $P=\mathbb{R}$ 的情形得到。对 $P=S^1$ 的情形，该分类由作者得到。所有这些结果可重新表述为一条定理：“两个 Morse 映射 $f,g:M \to P$ 属于从 $M$ 到 $P$ 的 Morse 映射空间的同一道路分支，当且仅当它们同伦、在每个指标上具有相同数量的临界点、并且具有相同的正与负边界圆周集合”。此处我们基于 Lickorish 关于曲面同胚群生成元的定理，给出此定理的另一个独立证明。