用于常微分方程与指标1微分代数方程初值问题的稀疏物理信息随机投影神经网络
数值分析
2024-11-05 v2 机器学习
数值分析
动力系统
摘要
我们基于随机投影的概念，提出了一种物理信息神经网络，用于数值求解线性隐式形式的非线性常微分方程（ODE）与指标1微分代数方程（DAE）的初值问题（IVP），这些问题也可能源于偏微分方程（PDE）的空间离散化。该格式具有单个隐藏层，采用适当随机参数化的高斯核与线性输出层，而内部权重固定为1。隐藏层与输出层之间的未知权重通过牛顿迭代计算：对于中低规模系统使用 Moore-Penrose 伪逆，对于中大规模系统使用带正则化的稀疏 QR 分解。为处理刚性与陡峭梯度，我们提出了变步长格式以调整积分区间，并给出一种延拓法为牛顿迭代提供良好的初值猜测。基于先前随机投影的工作，我们证明了该格式对规范形 ODE 与半显式指标1 DAE 的逼近能力。均匀分布的优化边界依据偏差-方差权衡进行稀疏选取。该格式的性能通过七个基准问题进行评估：四个指标1 DAE（Robertson 模型、描述珠子运动的五维 DAE 模型、描述电力放电控制问题的六维 DAE 模型、Akzo Nobel 化学问题）以及三个刚性问题（Belousov-Zhabotinsky、Allen-Cahn PDE 与 Kuramoto-Sivashinsky PDE）。该格式的效率与 MATLAB ODE 套件中的三种求解器 ode23t、ode23s、ode15s 进行比较。我们的结果表明，所提格式在多种情形下优于刚性求解器，尤其在出现高刚性或陡峭梯度的数值精度方面，而计算代价在任何实际用途下均可比拟。
引用
@article{arxiv.2203.05337,
title = {Parsimonious Physics-Informed Random Projection Neural Networks for Initial-Value Problems of ODEs and index-1 DAEs},
author = {Gianluca Fabiani and Evangelos Galaris and Lucia Russo and Constantinos Siettos},
journal= {arXiv preprint arXiv:2203.05337},
year = {2024}
}