基于导数信息神经算子处理高维不确定性的高效PDE约束优化
最优化与控制
2023-06-01 v1 机器学习
数值分析
数值分析
摘要
我们提出一种新颖的机器学习框架，用于求解由大规模偏微分方程（PDEs）控制且具有高维随机参数的优化问题。此类不确定性下的优化（OUU）问题若使用经典方法可能计算代价高昂，尤其当优化算法每次迭代都需大量样本来评估风险度量、且每个样本都要求解一个计算昂贵的PDE时。为应对该挑战，我们提出一种新的PDE解算子的神经算子近似，其兼具以下优点：（1）不仅精确近似从随机参数与优化变量的联合输入到PDE状态的映射，还精确近似其关于优化变量的导数；（2）利用可扩展至高维OUU问题的降基架构高效构建神经网络；（3）仅需有限训练数据即可对PDE解与OUU解均达到高精度。我们将此类神经算子称为多输入降基导数信息神经算子（MR-DINOs）。我们通过若干数值实验展示了方法的精度与效率，即半线性椭圆PDE的风险规避控制，以及二、三维空间中涉及随机场输入的稳态Navier--Stokes方程。在各例中，MR-DINOs实现了--的执行时间缩减，并在计入构建成本后仍比标准基于PDE的解法节省以上成本的同时，给出精度可比的OUU解。
引用
@article{arxiv.2305.20053,
title = {Efficient PDE-Constrained optimization under high-dimensional uncertainty using derivative-informed neural operators},
author = {Dingcheng Luo and Thomas O'Leary-Roseberry and Peng Chen and Omar Ghattas},
journal= {arXiv preprint arXiv:2305.20053},
year = {2023}
}