非线性 PDE 非光滑最优控制的算子学习方法
最优化与控制
2025-04-25 v2
摘要
具有非光滑目标和非线性偏微分方程 (PDE) 约束的最优控制问题极具挑战性，这主要是由于其潜在的非光滑和非凸结构，以及在基于网格的离散化后求解多个高维且病态系统所需的巨大计算成本。为了在数值上缓解这些挑战，我们提出了一种算子学习方法，结合有效的原始-对偶优化思想，该方法可以解耦对控制变量和状态变量的处理，使得每次产生的迭代只需求解两个 PDE。我们的主要目的是通过算子学习为所涉及的 PDE 构建神经代理模型，从而仅需神经网络的一次前向传播即可获得 PDE 的解。由此产生的算法框架提供了一种混合方法，将算子学习的效率与泛化能力，以及基于原始-对偶算法的基于模型的性质和结构友好性相结合。基于原始-对偶的算子学习方法提供了无网格、易于实现且能适应各种非线性 PDE 最优控制问题的数值方法。值得注意的是，神经代理模型可以在迭代和参数设置中重复使用，从而避免了神经网络的重新训练，并可以大幅减轻计算成本。我们在一系列具有非线性 PDE 的典型最优控制问题上验证了基于原始-对偶的算子学习方法的有效性。
引用
@article{arxiv.2409.14417,
title = {An Operator Learning Approach to Nonsmooth Optimal Control of Nonlinear PDEs},
author = {Yongcun Song and Xiaoming Yuan and Hangrui Yue and Tianyou Zeng},
journal= {arXiv preprint arXiv:2409.14417},
year = {2025}
}