BiLO：用于偏微分方程反问题的双层局部算子学习
机器学习
2026-01-08 v6 数值分析
数值分析
最优化与控制
摘要
我们提出了一种基于神经网络的新方法，通过将偏微分方程（PDE）反问题表述为双层优化问题来求解PDE反问题。在上层，我们最小化关于PDE参数的数据损失。在下层，我们训练一个神经网络，在给定PDE参数集合的邻域内局部近似PDE解算子，从而实现对上层优化问题下降方向的精确近似。下层损失函数包含残差及其关于PDE参数导数的 L2 范数。我们在上层和下层优化问题上同时应用梯度下降，从而得到一种有效且快速的算法。我们将该方法称为 BiLO（Bilevel Local Operator learning，双层局部算子学习），它还能够通过引入辅助变量来高效推断PDE中的未知函数。我们提供了理论分析以证明该方法的合理性。通过对多个PDE系统进行大量实验，我们证明该方法施加了强PDE约束，对稀疏和含噪数据具有鲁棒性，并且消除了许多现有方法中软PDE约束固有的平衡残差与数据损失的需求。
引用
@article{arxiv.2404.17789,
title = {BiLO: Bilevel Local Operator Learning for PDE Inverse Problems},
author = {Ray Zirui Zhang and Christopher E. Miles and Xiaohui Xie and John S. Lowengrub},
journal= {arXiv preprint arXiv:2404.17789},
year = {2026}
}