标准对偶四元数优化及其在手眼标定与 SLAM 中的应用

若干常见对偶四元数函数，如幂函数、模长函数、$2$-范数函数以及对偶四元数 Hermitian 矩阵的第 $k$ 大特征值，均为标准对偶四元数函数，即其函数值的实部仅依赖于其对偶四元数变量的实部。此外，两个标准对偶函数的和、积、最小值、最大值与复合函数，以及标准单位对偶四元数函数的对数与指数，仍为标准对偶四元数函数。另一方面，目标与约束函数值为对偶数而变量为对偶四元数的对偶四元数优化问题自然源于应用。我们表明，求解等式约束对偶四元数优化问题只需求解两个四元数优化问题。若所涉及的对偶四元数函数均为标准的，则该优化问题称为标准对偶四元数优化问题，并可得到若干更好的结果。进而，我们表明由手眼标定问题与同时定位与建图（SLAM）问题产生的对偶四元数优化问题均为等式约束标准对偶四元数优化问题。