关于非参数估计在混合幂系列分布中的参数收敛速率

我们考虑估计具有无限支撑集的混合幂系列分布的问题，这些分布包括诸如泊松、几何、对数或负二项概率质量函数等众所熟知的模型。我们考虑非参数最大似然估计（NPMLE），并表明在非常宽松的假设下，它在 Hellinger 距离下收敛到真实混合分布 $\pi_0$ 的速率不慢于 $(\log n)^{3/2} n^{-1/2}$。近期关于鲁棒下界的工作表明，至少对于泊松混合分布，所获得的 Hellinger 收敛速率中的对数因子不可被改进。此外，我们构造了基于 NPMLE 的非参数估计，表明它们以保守的参数速率 $n^{-1/2}$ 收敛到 $\pi_0$，其中 $\ell_p$ 范数（$p \in [1, \infty]$ 或 $p \in [2, \infty)$）：加权最小二乘估计和混合估计。我们考虑了模拟和实际数据应用，以评估本文中所研究的所有估计方法的性能，并说明了理论的实际意义。模拟结果表明，NPMLE 在所有情形下的 Hellinger、$\ell_1$ 和 $\ell_2$ 距离上表现最佳。最后，用于构造真实混合概率质量函数置信区间时，考虑了非参数和参数 bootstrap 方法。它们的表现相对于置信区间的覆盖率和长度进行了比较。